Droites perpendiculaires ? (2) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points \(\text A(1+2i) , \text B(1+\sqrt{3}+i) , \text C(1+3 \sqrt{3} -i)\) et \(\text D(1-2i)\) .  Les droites \((\text B\text D)\) et \((\text A\text C)\) sont elles perpendiculaires 

Solution

\(z_\text D - z_\text B = 1-2i -(1+ \sqrt{3}+i) = -\sqrt{3} - 3i\)
\(z_\text A - z_\text C = 1+2i -(1+3 \sqrt{3} -i) = -3 \sqrt{3} + 3i\)

Donc  \(\dfrac{z_\text D - z_\text B}{z_\text A - z_\text C} = \dfrac{-\sqrt{3} - 3i}{-3 \sqrt{3} + 3i}= \dfrac{\frac{i}{\sqrt{3}}(-3 \sqrt{3} + 3i)}{-3 \sqrt{3} + 3i}= \dfrac{i}{ \sqrt{3}} \in i \mathbb{R}\)

Donc les droites \((\text B\text D)\) et \((\text A\text C)\) sont perpendiculaires.